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砝码的进制的由来总结

砝码的进制的由来总结

九津砝码, 


砝码,标准砝码,不锈钢砝码-现在我们普遍使用十进位制进行数学运算, 大概是源于我们的祖先喜欢用手指来计数, 毕竟数学首先是一种实用的工具。另一种常使用的进位制是二进位制,在计算机运算之中。

日常生活中好像没有三进制的立足之处。 1 个季度是 3 个月, 应是三进位制,可是我们说 1 年是 4 个季度, 而不是 11 个季度。 交通信号的红绿黄的三种状态可以表示 0、 1、 2 来描述, 这似乎与三进制沾上了边, 可是近红绿黄灯多变成了红绿灯, 三进制变成了二进制。

虽然在日常生活中少有表现的机会, 但是用三进位制就**容易解决一道关于砝码的经典趣味数学题。

这道砝码问题是巴协(Bachet) 给出的: 要想在天平上称出 1 到 40 磅在内的**整磅数, 问少需要几个多重的砝码? 这里有两种放置砝码的办法:


(1)所有砝码只放进天平的一端, (2) 砝码可以放进天平的两端。对于(1) , 砝码具有两种状态, 不放或者放。 记不放为 0, 放为 1, 这个问题可以使用二进制来解决。 二进制的砝码重量设置为 1、 2、 4、 8、 16、 32。 在 1到 1+2+4+8+16+32 也就是 63 之内的**数量都可以用 1、 2、 4、 8、 16、 32 中的某几个数相加得到。 所以问题(1) 的砝码数是 6 个, 每个砝码的重量设置为 1、2、 4、 8、 16、 32 磅。

对于(2) , 砝码具有三种状态, 不放、 放在天平左端、 放在天平右端。 记不放为 0, 放左边为 1, 放右边为-1, 这个问题可以使用三进制来解决。 在三进制中, 砝码的重量设置为 1、 3、 9、 27. 。 在 1 到 1+3+9+27 也就是 40 之内的**数量都可以用 1、 3、 9、 27 中的某几个数相加或者相减获得。

我们来看这几个砝码是如何称量 1 到 40 的:1=1; 2=3-1; 3=3 ; 4=3+1; 5=9-3-1 ; 6=9-3 ;7=9-3+1; 8=9-1 ; 9=9 ; 10=9+1 ; 11=9+3-1

……35=27+9-1; 36=27+9; 37=27+9+138=27+9+3-1; 39=27+9+3; 40=27+9+3+1

这里, 加号意味着天平左边放置砝码, 减号意味着天平右边放置砝码(与被称重的物体放在同一端) 。


如果我们增加两个砝码 81 磅和 243 磅, 用 6 个砝码可以就称重 1 到 364 磅的重量。 如果砝码继续按 3 的幂次增加重量, 则称重的范围越来越大。 用重量为1、 3^2、 3^3、 ……、 3^n 得 n 个砝码可以称出从 1 到(3^n-1) /2 的所有重量。

问题是, 如果一个被称物体较重, 我们该如何在天平两端放置砝码呢? 这里涉及到十进制向三进制的计算。 像十进制转化为二进制一样, 转化方法就是连续的除法运算(这里不打算详细介绍) 。


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